El descubrimiento de Green y Sawhney
Pero eso no era obvio. Tendrían que analizar un conjunto especial de funciones, llamadas sumas de Tipo I y Tipo II, para cada versión de su problema, y luego demostrar que las sumas eran equivalentes sin importar la restricción utilizada. Solo entonces, Green y Sawhney sabrían que podían sustituir los primos ásperos en su prueba sin perder información.
Pronto llegaron a una realización: podían demostrar que las sumas eran equivalentes utilizando una herramienta que cada uno de ellos había encontrado de manera independiente en trabajos previos. La herramienta, conocida como norma de Gowers, fue desarrollada décadas antes por el matemático Timothy Gowers para medir cuán aleatoria o estructurada es una función o conjunto de números. A simple vista, la norma de Gowers parecía pertenecer a un ámbito completamente diferente de las matemáticas. “Es casi imposible para un profano darse cuenta de que estas cosas están relacionadas”, dijo Sawhney.
Conexión entre normas de Gowers y sumas
Mediante un resultado destacado demostrado en 2018 por los matemáticos Terence Tao y Tamar Ziegler, Green y Sawhney encontraron una manera de hacer la conexión entre las normas de Gowers y las sumas de Tipo I y II. Esencialmente, necesitaban usar las normas de Gowers para mostrar que sus dos conjuntos de primos —el conjunto construido utilizando primos ásperos y el conjunto construido utilizando primos reales— eran suficientemente similares.
Resultó que Sawhney sabía cómo hacer esto. A principios de este año, para resolver un problema no relacionado, había desarrollado una técnica para comparar conjuntos usando normas de Gowers. Para su sorpresa, la técnica era lo suficientemente buena para mostrar que los dos conjuntos tenían las mismas sumas de Tipo I y II.
Conjetura de Friedlander e Iwaniec
Con esto en mano, Green y Sawhney probaron la conjetura de Friedlander e Iwaniec: existen infinitos primos que pueden escribirse como p² + 4q². En última instancia, pudieron extender su resultado para probar que hay infinitos primos que pertenecen también a otros tipos de familias. El resultado marca un importante avance en un tipo de problema donde el progreso suele ser muy raro.
Aún más importante, el trabajo demuestra que la norma de Gowers puede actuar como una herramienta poderosa en un nuevo dominio. “Debido a que es tan nueva, al menos en esta parte de la teoría de números, hay potencial para hacer un montón de otras cosas con ella”, dijo Friedlander. Ahora los matemáticos esperan ampliar el alcance de la norma de Gowers aún más, tratando de usarla para resolver otros problemas en teoría de números más allá de contar primos.
Aplicaciones inesperadas
“Es muy divertido para mí ver cosas en las que pensé hace algún tiempo tener nuevas aplicaciones inesperadas”, dijo Ziegler. “Es como ser un padre, cuando dejas a tu hijo libre y crece y hace cosas misteriosas e inesperadas.”
Fuente y créditos: www.wired.com
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