Estructura de Grupos y Subgrupos
Descifrar qué subgrupos contiene un grupo es una forma de entender su estructura. Por ejemplo, los subgrupos de Z6 son {0}, {0, 2, 4} y {0, 3} — el subgrupo trivial, los múltiplos de 2 y los múltiplos de 3. En el grupo D6, las rotaciones forman un subgrupo, pero las reflexiones no. Esto se debe a que dos reflexiones realizadas en secuencia producen una rotación, no una reflexión, al igual que sumar dos números impares da como resultado uno par.
Subgrupos Normales
Ciertos tipos de subgrupos llamados “subgrupos normales” son especialmente útiles para los matemáticos. En un grupo conmutativo, todos los subgrupos son normales, pero esto no es siempre cierto de manera general. Estos subgrupos retienen algunas de las propiedades más útiles de la conmutatividad, sin obligar a que todo el grupo sea conmutativo. Si se puede identificar una lista de subgrupos normales, los grupos pueden dividirse en componentes de manera similar a cómo los enteros pueden descomponerse en productos de primos. Los grupos que no tienen subgrupos normales se llaman grupos simples y no pueden descomponerse más, así como los números primos no pueden ser factorizados. El grupo Zn es simple solo cuando n es primo; los múltiplos de 2 y 3, por ejemplo, forman subgrupos normales en Z6.
Grupos Simples y Diversidad
Sin embargo, los grupos simples no siempre son tan simples. “Es el mayor malentendido en matemáticas”, dijo Hart. En 1892, el matemático Otto Hölder propuso que los investigadores reunieran una lista completa de todos los posibles grupos simples finitos. (Los grupos infinitos como los enteros forman su propio campo de estudio.) Resulta que casi todos los grupos simples finitos o parecen Zn (para valores primos de n) o caen en una de dos familias otras. Y hay 26 excepciones, llamadas grupos esporádicos. Definirlos y demostrar que no hay otras posibilidades tomó más de un siglo.
El Grupo Monstruo
El grupo esporádico más grande, llamado apropiadamente el grupo monstruo, fue descubierto en 1973. Tiene más de 8 × 1054 elementos y representa rotaciones geométricas en un espacio con casi 200,000 dimensiones. “Es una locura que este fenómeno pudiera ser encontrado por humanos”, dijo Hart. Para la década de 1980, la mayor parte del trabajo que Hölder había solicitado parecía estar completada, pero fue difícil demostrar que no había más grupos esporádicos acechando por ahí. La clasificación se retrasó aún más cuando, en 1989, la comunidad encontró huecos en una prueba de 800 páginas de principios de la década de 1980. Una nueva prueba fue finalmente publicada en 2004, culminando la clasificación.
Estructuras en Matemáticas Modernas
Muchas estructuras en matemáticas modernas — anillos, campos y espacios vectoriales, por ejemplo — se crean cuando se agrega más estructura a los grupos. En los anillos, puedes multiplicar así como sumar y restar; en los campos, también puedes dividir. Pero debajo de todas estas estructuras más complejas está la misma idea original del grupo, con sus cuatro axiomas. “La riqueza que es posible dentro de esta estructura, con estas cuatro reglas, es asombrosa”, dijo Hart.
Historia original reproducida con permiso de Quanta Magazine, una publicación editorialmente independiente de la Fundación Simons cuyo objetivo es mejorar la comprensión pública de la ciencia al cubrir desarrollos de investigación y tendencias en matemáticas y las ciencias físicas y biológicas.
Fuente y créditos: www.wired.com
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